2023年6月，某零售App做转盘抽奖，中奖率标称10%，连续10次不中的用户在客诉里占了七成。用户的理解是“抽10次必中一次”，实际每次独立，10次全不中的概率是0.9的10次方，约34.9%，也就是每3个抽满10次的用户就有1个一次没中。
独立事件的误用还有另一种。某签到活动设计成“连续7天签到得大奖”，运营按每天80%签到率估算，以为7天全勤率是0.8的7次方约21%，实际只有9%。原因不是独立性问题，而是用户行为相关：第1天没签到的用户后面基本不回来，前3天流失占全部流失的65%。分天看留存曲线，比套公式有用。
条件概率有个经典场景。某风控团队发现“绑定银行卡的用户逾期率更低”，想把绑卡作为授信加分项。查了一下：整体逾期率4.2%，绑卡用户逾期率2.8%，看着确实低。但按收入分层后再看，高收入组里绑卡和不绑卡逾期率分别是1.9%和2.1%，几乎没差。绑卡只是高收入用户的副产品，不是原因。这个案例里，绑卡是条件，收入是混杂因素，不做分层就会得出错误结论。
再举一个案例。某推荐系统做冷启动，新用户前3次点击的转化率是12%，老用户是7%。有人据此认为新用户价值更高，加大拉新预算。实际上新用户点击少而精，看到的多是热门内容；老用户点击基数大，长尾内容拉低了均值。按内容热度分桶后，新老用户在热门内容上的转化率分别是13%和12%，差异不到1个百分点。
概率校准在广告出价里很关键。某团队用逻辑回归预估转化率，线下平均预估0.031，实际0.018，整体高估72%。出价按预估值乘客单价算，结果获客成本超预算40%。修正步骤：1）按预估值分10桶画校准曲线；2）对每桶做保序回归，把预估值映射到实际频率；3）线上先小流量跑3天，看实际成本和预估成本的比值是否在0.95到1.05之间。
几个常用数字记一下：独立重复试验中，单次概率p，n次至少发生一次的概率是1减去(1-p)的n次方。p=1%时，n=50约39.5%，n=100约63.4%，n=200约86.6%。活动文案写“中奖率1%”时，最好同时说明“平均每100次约63次至少中1次”，否则客诉跑不掉。
最后一条：小样本比例不要直接比。某A/B实验两组各200人，转化率5.5%对3.5%，看着差2个百分点，算一下95%置信区间，重叠明显，结论是不显著。样本量估算公式粗算：要检测2个百分点的绝对差异，基线5%，每组至少需要约2000人。样本不够就延长实验，别急着下结论。
